quinta-feira, 15 de julho de 2010
quarta-feira, 7 de julho de 2010
Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração equivale à fração que equivale ao número decimal .
Stevin, engenheiro e matemático holandês, em 1585 elaborou um método para efetuar operações por meio de números inteiros, sem o uso de frações, no qual ordenava os números naturais sobre os algarismos do numerador, o que indicava a posição a ser ocupada pela vírgula no numeral decimal.
A representação proveniente de frações decimais recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.
Em 1617 a notação introduzida por Stevin foi adaptada por John Napier, matemático escocês, que sugeriu o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.
Durante muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Esses números simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.
[editar] Casa decimal
É a posição que um algarismo ocupa após a vírgula em um número decimal.
Exemplo:
O número decimal 12,34563 tem 5 casas decimais. Observe que no exemplo acima existem 5 algarismos após a vírgula, são eles: o 3, o 4, o 5, o 6, e o 3 novamente.
[editar] Nomenclatura
Décimo = 0,1- 1 casa decimal
Centésimo = 0,01- 2 casas decimais
Milésimo = 0,001- 3 casas decimais
Décimo Milésimo = 0,0001- 4 casas decimais
Centésimo Milésimo = 0,00001- 5 casas decimais
Milionésimo = 0,000001- 6 casas decimais
Décimo Milionésimo = 0,0000001- 7 casas decimais
Centésimo Milionésimo = 0,00000001- 8 casas decimais
Bilionésimo = 0,000000001- 9 casas decimais
Décimo Bilionésimo = 0,0000000001- 10 casas decimais
Centésimo Bilionésimo = 0,00000000001- 11 casas decimais
Trilionésimo = 0,000000000001- 12 casas decimais
Décimo Trilionésimo = 0,0000000000001- 13 casas decimais
Centésimo Trilionésimo = 0,00000000000001- 14 casas decimais
milésimo trilionésimo = 0,000000000000001- 15 casas decimais
+de... milesimo trilionésimo = 0,00000000000000001 - 16 casas decimais
e assim por diante
[editar] Exemplos de decimais
0,9
0,05
0,81
0,56
0,797
0,6786
0,78776
1,5766786856
[editar] Decimais infinitos
Também podem ser chamados de dízima periódica, caso apresentem repetição, ou numeros irracionais
1,7575647856487543785348738745374...
2,2222222222222222222222222222222...
5366576,7558967589675895634896687...
67,687764986357348963894439864386...
2,4832483248324832483248324832483...
Obtida de "http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal"
Stevin, engenheiro e matemático holandês, em 1585 elaborou um método para efetuar operações por meio de números inteiros, sem o uso de frações, no qual ordenava os números naturais sobre os algarismos do numerador, o que indicava a posição a ser ocupada pela vírgula no numeral decimal.
A representação proveniente de frações decimais recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.
Em 1617 a notação introduzida por Stevin foi adaptada por John Napier, matemático escocês, que sugeriu o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.
Durante muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Esses números simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.
[editar] Casa decimal
É a posição que um algarismo ocupa após a vírgula em um número decimal.
Exemplo:
O número decimal 12,34563 tem 5 casas decimais. Observe que no exemplo acima existem 5 algarismos após a vírgula, são eles: o 3, o 4, o 5, o 6, e o 3 novamente.
[editar] Nomenclatura
Décimo = 0,1- 1 casa decimal
Centésimo = 0,01- 2 casas decimais
Milésimo = 0,001- 3 casas decimais
Décimo Milésimo = 0,0001- 4 casas decimais
Centésimo Milésimo = 0,00001- 5 casas decimais
Milionésimo = 0,000001- 6 casas decimais
Décimo Milionésimo = 0,0000001- 7 casas decimais
Centésimo Milionésimo = 0,00000001- 8 casas decimais
Bilionésimo = 0,000000001- 9 casas decimais
Décimo Bilionésimo = 0,0000000001- 10 casas decimais
Centésimo Bilionésimo = 0,00000000001- 11 casas decimais
Trilionésimo = 0,000000000001- 12 casas decimais
Décimo Trilionésimo = 0,0000000000001- 13 casas decimais
Centésimo Trilionésimo = 0,00000000000001- 14 casas decimais
milésimo trilionésimo = 0,000000000000001- 15 casas decimais
+de... milesimo trilionésimo = 0,00000000000000001 - 16 casas decimais
e assim por diante
[editar] Exemplos de decimais
0,9
0,05
0,81
0,56
0,797
0,6786
0,78776
1,5766786856
[editar] Decimais infinitos
Também podem ser chamados de dízima periódica, caso apresentem repetição, ou numeros irracionais
1,7575647856487543785348738745374...
2,2222222222222222222222222222222...
5366576,7558967589675895634896687...
67,687764986357348963894439864386...
2,4832483248324832483248324832483...
Obtida de "http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal"
poste aqui suas mensagens o que vcs acham etc...
Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos, propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e números decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem ( 1/2 Kg ), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais.Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos freqüentemente a notação X/Y.Elementos históricos sobre os números Decimais Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas não eram conhecidas. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir e representar medidas.Os egípcios usavam apenas frações que possuíam o número 1 dividido por um número inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais frações eram denominadas frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas. Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em termos de frações egípcias, como: 5/6=1/2+1/3.Os babilônios usavam em geral frações com denominador 60. É provável que o uso do número 60 pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que 100 com maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente frações com denominador 12. Provavelmente os romanos usavam o número 12 por ser um número que embora pequeno, possui um número expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas para representar frações. A atual maneira de representação data do século XVI.Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5.Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês.
1437
1
2
3
=
1,
4
3
7
1000
A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.
437
100
= 4,37
Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.Frações e Numeros Decimais Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.Exemplos de frações decimais são: 1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103
Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.
A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples como:
127
100
=
1,27
onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
127
100
=
100+27
100
=
100
100
+
27
100
= 1+0,27 = 1,27
A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.Leitura de números decimais Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:
Centenas
Dezenas
Unidades
,
Décimos
Centésimos
Milésimos
Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:
1 Centena
3 dezenas
0 unidades
,
8 décimos
2 centésimos
4 milésimos
Exemplos:
0,6
Seis décimos
0,37
Trinta e sete centésimos
0,189
Cento e oitenta e nove milésimos
3,7
Três inteiros e sete décimos
13,45
Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos
130,824
Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos
Transformação de frações decimais em números decimais Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
parte inteira
parte fracionária
0
,
1
Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
parte inteira
parte fracionária
2
,
31
Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador.Exemplos:130/100 = 1,30987/1000 = 0,9875/1000 = 0,005Transformação de números decimais em frações decimais Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado.Exemplos:0,5 = 5/100,05 = 5/1002,41 = 241/1007,345 = 7345/1000Propriedades dos números decimais
Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Exemplos:0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,50001,0002 = 1,00020 = 1,0002003,1415926535 = 3,141592653500000000Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Exemplos:7,4 x 10 = 747,4 x 100 = 7407,4 x 1000 = 7400Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais. Exemplos:247,5 ÷ 10 = 24,75247,5 ÷ 100 = 2,475247,5 ÷ 1000 = 0,2475Operações com números decimaisAdição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais.Exemplos:2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,7232,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:
• o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número;
• o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número;
• o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc);
• a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula e;
• a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.Exemplos: 2,400 2,400
+ 1,723 - 1,723
------- -------
(c) Realizar a adição ou a subtração.Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador. Exemplo:
2,25×3,5 =
225
100
×
35
10
=
225×35
100×10
=
7875
1000
= 7,875
Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador.Exemplo:
2,25
2 casas decimais
multiplicando
x
3,5
1 casa decimal
multiplicador
1125
+
675
7875
7,875
3 casas decimais
Produto
Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Por exemplo: 3,6/0,4=?Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que "cortamos" a vírgula.
3,6÷0,4 =
3,6
0,4
=
36×10
4×10
=
36
4
= 9
Um outro exemplo:
0,35÷7=
0,35
7
=
0,35×100
7×100
=
35
700
=
35÷7
700÷7
=
5
100
= 0,05
Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.Problema: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada um receberá?Divisão quando o dividendo é menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por 700(divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos, 3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficará dividido por 100.
dividendo
3500
700
divisor
resto
0
0,05
quociente
Efetua-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5.Concluímos que 0,35/7 = 35/700 = 0,05Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.
10
16
?
(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.
100
16
0,
(2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.
100
16
-96
0,6
4
(3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 4.
100
16
-96
0,6
40
(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.
100
16
-96
0,62
40
-32
8
(5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.
100
16
-96
0,625
40
-32
80
-80
0
Logo, a divisão 10/16 é igual a 0,625. Note que o quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro.Comparação de números decimais A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (maior); < (menor) ou = (igual).Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior.Exemplos:4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.3,7 <> 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3Porcentagem Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:• A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)• Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.• O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b = 100 chama-se porcentagem.Exemplos:
(1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que
30
100
= 30%
(2) Calcular 40% de R$300,00. É o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:
40
100
=
X
300
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120
Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.(3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?
45
100
=
X
200
O que implica que 100X=9000, logo X=90. Como já li 90 páginas, ainda devo ler 200-90 = 110 páginas.
1437
1
2
3
=
1,
4
3
7
1000
A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.
437
100
= 4,37
Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.Frações e Numeros Decimais Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.Exemplos de frações decimais são: 1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103
Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.
A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples como:
127
100
=
1,27
onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
127
100
=
100+27
100
=
100
100
+
27
100
= 1+0,27 = 1,27
A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.Leitura de números decimais Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:
Centenas
Dezenas
Unidades
,
Décimos
Centésimos
Milésimos
Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:
1 Centena
3 dezenas
0 unidades
,
8 décimos
2 centésimos
4 milésimos
Exemplos:
0,6
Seis décimos
0,37
Trinta e sete centésimos
0,189
Cento e oitenta e nove milésimos
3,7
Três inteiros e sete décimos
13,45
Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos
130,824
Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos
Transformação de frações decimais em números decimais Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
parte inteira
parte fracionária
0
,
1
Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
parte inteira
parte fracionária
2
,
31
Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador.Exemplos:130/100 = 1,30987/1000 = 0,9875/1000 = 0,005Transformação de números decimais em frações decimais Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado.Exemplos:0,5 = 5/100,05 = 5/1002,41 = 241/1007,345 = 7345/1000Propriedades dos números decimais
Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Exemplos:0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,50001,0002 = 1,00020 = 1,0002003,1415926535 = 3,141592653500000000Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Exemplos:7,4 x 10 = 747,4 x 100 = 7407,4 x 1000 = 7400Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais. Exemplos:247,5 ÷ 10 = 24,75247,5 ÷ 100 = 2,475247,5 ÷ 1000 = 0,2475Operações com números decimaisAdição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais.Exemplos:2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,7232,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:
• o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número;
• o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número;
• o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc);
• a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula e;
• a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.Exemplos: 2,400 2,400
+ 1,723 - 1,723
------- -------
(c) Realizar a adição ou a subtração.Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador. Exemplo:
2,25×3,5 =
225
100
×
35
10
=
225×35
100×10
=
7875
1000
= 7,875
Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador.Exemplo:
2,25
2 casas decimais
multiplicando
x
3,5
1 casa decimal
multiplicador
1125
+
675
7875
7,875
3 casas decimais
Produto
Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Por exemplo: 3,6/0,4=?Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que "cortamos" a vírgula.
3,6÷0,4 =
3,6
0,4
=
36×10
4×10
=
36
4
= 9
Um outro exemplo:
0,35÷7=
0,35
7
=
0,35×100
7×100
=
35
700
=
35÷7
700÷7
=
5
100
= 0,05
Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.Problema: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada um receberá?Divisão quando o dividendo é menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por 700(divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos, 3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficará dividido por 100.
dividendo
3500
700
divisor
resto
0
0,05
quociente
Efetua-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5.Concluímos que 0,35/7 = 35/700 = 0,05Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.
10
16
?
(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.
100
16
0,
(2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.
100
16
-96
0,6
4
(3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 4.
100
16
-96
0,6
40
(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.
100
16
-96
0,62
40
-32
8
(5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.
100
16
-96
0,625
40
-32
80
-80
0
Logo, a divisão 10/16 é igual a 0,625. Note que o quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro.Comparação de números decimais A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (maior); < (menor) ou = (igual).Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior.Exemplos:4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.3,7 <> 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3Porcentagem Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:• A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)• Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.• O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b = 100 chama-se porcentagem.Exemplos:
(1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que
30
100
= 30%
(2) Calcular 40% de R$300,00. É o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:
40
100
=
X
300
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120
Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.(3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?
45
100
=
X
200
O que implica que 100X=9000, logo X=90. Como já li 90 páginas, ainda devo ler 200-90 = 110 páginas.
A potenciação surge como uma ferramenta de muita utilidade na representação de uma multiplicação de fatores iguais. O conhecimento dessas técnicas é indispensável no estudo da Matemática básica e suas aplicações estão presentes em diversas situações relacionadas a outras ciências como a Química, Física, Engenharia, Biologia, Economia, Matemática Financeira entre outras. As regras de potenciação podem ser aplicadas nos números reais de forma geral, mas o conjunto numérico a ser abordado nesse estudo será o dos números racionais, aqueles escritos na forma a / b, com b ≠ 0. Na potenciação dos números racionais devemos aplicar o expoente aos dois elementos da fração, o numerador e o denominador. Observe:
Números Racionais e Expoente Negativo Nos casos em que o expoente é negativo, devemos trocar o sinal do expoente e inverter a base racional, isto é, o numerador passa a ser denominador e o denominador passa a ser numerador. Observe:
Números Racionais e Expoente Negativo Nos casos em que o expoente é negativo, devemos trocar o sinal do expoente e inverter a base racional, isto é, o numerador passa a ser denominador e o denominador passa a ser numerador. Observe:
Operações com números racionais decimais
Potenciação
As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural seguem as mesma regras desta operação, já definidas. Assim:
(3,5)2 = 3,5 · 3,5 = 12,25
(0,64)1 = 0,64
(0,4)3 = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064
(0,18)0 = 1
Raiz Quadrada
A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o mesmo numa fração decimal. Assim:
Expressões Numéricas
No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas regras aplicadas às expressões com números fracionários. Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando todos os termos em um só tipo de número racional. Exemplo:
= 0,05 + 0,2 · 0,16 : 0,4 + 0,25= 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25= 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38
Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes. Exemplos:
Potenciação
As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural seguem as mesma regras desta operação, já definidas. Assim:
(3,5)2 = 3,5 · 3,5 = 12,25
(0,64)1 = 0,64
(0,4)3 = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064
(0,18)0 = 1
Raiz Quadrada
A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o mesmo numa fração decimal. Assim:
Expressões Numéricas
No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas regras aplicadas às expressões com números fracionários. Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando todos os termos em um só tipo de número racional. Exemplo:
= 0,05 + 0,2 · 0,16 : 0,4 + 0,25= 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25= 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38
Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes. Exemplos:
Dados dois números naturais x e y, a expressão Xy, representa um produto de y fatores iguais ao número x: Xy = x . x . x . x ... x . x . x y vezes O número que se repete como fator denomina-se base que neste caso é X. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é y. O resultado denomina-se potência. Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais. Exemplo: Esta operação abaixo é chamada de potenciação: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 Neste caso o número 2 é a base, e o número 3 é o expoente, e o número 8 é a potência O expoente é o número de vezes que a base irá se repetir, a potência é o resultado. Observe estas potências: 52 = 5 . 5 = 25 → Cinco elevado à segunda potência.43 = 4 . 4 . 4 = 64 → Quatro elevado a terceira potência.Propriedades da Potenciação * Toda potência de base 1 e expoente natural é igual a 1, ou seja sempre que a base for 1 a potência será igual a 1. Exemplos: 16 = 1 . 1. 1 . 1 . 1 . 1 = 1 14 = 1 . 1 . 1 . 1 = 1 * Todo número natural não-nulo elevado à zero é igual a 1. Exemplo: 30 = 1 90 = 1 * Todo numero natural elevado a 1 é igual a ele mesmo. Exemplo: 41 = 4 . 1 = 4 61 = 6 . 1 = 6 81 = 8 . 1 = 8* Toda potência de base 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos forem as unidades do expoente. Exemplo: 103 = 10 . 10 . 10 = 1000 105 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 100.000
Um número racional é o que pode ser escrito na forma
m
n
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}
Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.
No nosso link Frações já detalhamos o estudo de frações e como todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos números racionais.
Dízima periódica
Uma dízima periódica é um número real da forma:
m,npppp...
onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.
Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período sublinhado.
Exemplos: Dízimas periódicas
0,3333333... = 0,3
1,6666666... = 1,6
12,121212... = 12,12
0,9999999... = 0,9
7,1333333... = 7,13
Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:
0,333333... = 0,(3) = 0,3
3,636363... = 3,(63) = 3,63
Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:
0,83333333... = 0,83
0,72535353... = 0,7253
Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:
0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...
4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...
A conexão entre números racionais e números reais
Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.
O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior.
A geratriz de uma dízima periódica
Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.
Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:
10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:
10 S - S = 3
donde segue que
9 S = 3
Simplificando, obtemos:
S =
1
3
= 0,33333... = 0,3
Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:
0,99999... = 0,9 = 1
Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o período tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:
100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha, assim:
100 T = 31 + T
de onde segue que
99 T = 31
e simplificando, temos que
T =
31
99
= 0,31313131... = 0,31
Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:
R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:
10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:
10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8
Assim:
10R - 71 - R + 7,1 = 0,8
Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:
90 R = 647
Obtemos então:
T =
647
90
= 7,1888... = 7,18
Um quarto tipo de dízima periódica é T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:
U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Multiplique agora a soma "infinita" por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:
1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:
1000(U-7) - (U-7) = 4
Assim:
1000U - 7000 - U + 7 = 4
Obtemos então
999 U = 6997
que pode ser escrita na forma:
T =
6997
999
= 7,004004... = 7,004
Números irracionais
Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.
Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:
x=0,10100100010000100000...
Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:
e = 2,718281828459045...,Pi = 3,141592653589793238462643...
que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc...
Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numérico é um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas.
Representação, ordem e simetria dos racionais
Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada. Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.
Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva. Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor do que s, escrevemos:
r < s
Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada.
Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que:(a) O oposto de 3/4 é -3/4.
(b) O oposto de 5 é -5.
Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do ponto virtual -q ao espelho.
Módulo de um número racional
O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais , por:
q = max{-q,q}
Exemplos: 0=0, 2/7=2/7 e -6/7=6/7.
Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional.
A soma (adição) de números racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:
a
b
+
c
d
=
ad+bc
bd
Propriedades da adição de números racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a + b = b + a
Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:
q + 0 = q
Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que
q + (-q) = 0
Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é:
p - q = p + (-q)
Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.
A Multiplicação (produto) de números racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:
a
b
×
c
d
=
ac
bd
O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.
Propriedades da multiplicação de números racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a × b = b × a
Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:
q × 1 = q
Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que
q × q-1 = 1
Esta última propriedade pode ser escrita como:
a
b
×
b
a
= 1
Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:
p ÷ q = p × q-1
Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?
A divisão de números racionais esclarece a questão:
a
b
÷
c
d
=
a
b
×
d
c
=
ad
bc
Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é também desnecessária no conjunto dos números racionais.
Propriedade distributiva (mista)
Distributiva: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Potenciação de números racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125
(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8
(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25
(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25
Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente é n=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo.
Raízes de números racionais
A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que o número q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).
Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste trabalho. Assim:
r = Rn[q] equivale a q = rn
Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número racional q por R[q].
A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.
Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.
Exemplos:(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.
(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.
(c) R[144] = 12 pois 12²=144.
(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.
Observação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números racionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos Números Complexos.
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outro número racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos são válidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.
Exemplos:(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.
(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.
(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.
(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.
Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:
(1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.
(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional.
Média aritmética e média ponderada
Média aritmética: Seja uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média aritmética entre esses n números é a soma dos mesmos dividida por n, isto é:
A=
x1 + x2 + x3 +...+ xn
n
Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:
12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33
então a idade média do grupo pode ser calculada pela média aritmética:
A=
12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33
9
=
352
9
=
39,11
o que significa que a idade média está próxima de 39 anos.
Média aritmética ponderada: Consideremos uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é:
P=
x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pn
p1 + p2 + p3 +...+ pn
Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes características:
12 ganham R$ 50,00
10 ganham R$ 60,00
20 ganham R$ 25,00
15 ganham R$ 90,00
7 ganham R$ 120,00
Para calcular a média salarial (por dia) de todo o grupo devemos usar a média aritmética ponderada:
P=
50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7
12 + 10 + 20 + 15 + 7
=
3890
64
=60,78
Médias geométrica e harmônica
Média geométrica: Consideremos uma coleção formada por n números racionais não negativos: x1, x2, x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses números, isto é:
G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]
Exemplo: A a média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:
G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013
Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.
A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.
G = R[a × b] = R[64] = 8
Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.
Interpretação gráfica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.
Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferencia começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.
Média harmônica: Seja uma coleção formada por n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A média harmônica H entre esses n números é a divisão de n pela soma dos inversos desses n números, isto é:
Aplicações práticas: Para as pessoas interessados em muitas aplicações do conceito de harmônia, média harmônica e harmônico global, visite o nosso link Harmonia.
Construída por Ulysses Sodré.
Atualizada em 24/mar/2005.
m
n
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}
Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.
No nosso link Frações já detalhamos o estudo de frações e como todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos números racionais.
Dízima periódica
Uma dízima periódica é um número real da forma:
m,npppp...
onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.
Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período sublinhado.
Exemplos: Dízimas periódicas
0,3333333... = 0,3
1,6666666... = 1,6
12,121212... = 12,12
0,9999999... = 0,9
7,1333333... = 7,13
Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:
0,333333... = 0,(3) = 0,3
3,636363... = 3,(63) = 3,63
Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:
0,83333333... = 0,83
0,72535353... = 0,7253
Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:
0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...
4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...
A conexão entre números racionais e números reais
Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.
O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior.
A geratriz de uma dízima periódica
Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.
Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:
10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:
10 S - S = 3
donde segue que
9 S = 3
Simplificando, obtemos:
S =
1
3
= 0,33333... = 0,3
Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:
0,99999... = 0,9 = 1
Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o período tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:
100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha, assim:
100 T = 31 + T
de onde segue que
99 T = 31
e simplificando, temos que
T =
31
99
= 0,31313131... = 0,31
Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:
R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:
10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:
10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8
Assim:
10R - 71 - R + 7,1 = 0,8
Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:
90 R = 647
Obtemos então:
T =
647
90
= 7,1888... = 7,18
Um quarto tipo de dízima periódica é T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:
U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Multiplique agora a soma "infinita" por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:
1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:
1000(U-7) - (U-7) = 4
Assim:
1000U - 7000 - U + 7 = 4
Obtemos então
999 U = 6997
que pode ser escrita na forma:
T =
6997
999
= 7,004004... = 7,004
Números irracionais
Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.
Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:
x=0,10100100010000100000...
Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:
e = 2,718281828459045...,Pi = 3,141592653589793238462643...
que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc...
Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numérico é um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas.
Representação, ordem e simetria dos racionais
Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada. Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.
Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva. Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor do que s, escrevemos:
r < s
Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada.
Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que:(a) O oposto de 3/4 é -3/4.
(b) O oposto de 5 é -5.
Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do ponto virtual -q ao espelho.
Módulo de um número racional
O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais , por:
q = max{-q,q}
Exemplos: 0=0, 2/7=2/7 e -6/7=6/7.
Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional.
A soma (adição) de números racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:
a
b
+
c
d
=
ad+bc
bd
Propriedades da adição de números racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a + b = b + a
Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:
q + 0 = q
Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que
q + (-q) = 0
Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é:
p - q = p + (-q)
Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.
A Multiplicação (produto) de números racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:
a
b
×
c
d
=
ac
bd
O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.
Propriedades da multiplicação de números racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a × b = b × a
Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:
q × 1 = q
Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que
q × q-1 = 1
Esta última propriedade pode ser escrita como:
a
b
×
b
a
= 1
Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:
p ÷ q = p × q-1
Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?
A divisão de números racionais esclarece a questão:
a
b
÷
c
d
=
a
b
×
d
c
=
ad
bc
Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é também desnecessária no conjunto dos números racionais.
Propriedade distributiva (mista)
Distributiva: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Potenciação de números racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125
(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8
(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25
(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25
Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente é n=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo.
Raízes de números racionais
A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que o número q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).
Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste trabalho. Assim:
r = Rn[q] equivale a q = rn
Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número racional q por R[q].
A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.
Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.
Exemplos:(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.
(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.
(c) R[144] = 12 pois 12²=144.
(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.
Observação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números racionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos Números Complexos.
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outro número racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos são válidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.
Exemplos:(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.
(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.
(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.
(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.
Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:
(1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.
(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional.
Média aritmética e média ponderada
Média aritmética: Seja uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média aritmética entre esses n números é a soma dos mesmos dividida por n, isto é:
A=
x1 + x2 + x3 +...+ xn
n
Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:
12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33
então a idade média do grupo pode ser calculada pela média aritmética:
A=
12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33
9
=
352
9
=
39,11
o que significa que a idade média está próxima de 39 anos.
Média aritmética ponderada: Consideremos uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é:
P=
x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pn
p1 + p2 + p3 +...+ pn
Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes características:
12 ganham R$ 50,00
10 ganham R$ 60,00
20 ganham R$ 25,00
15 ganham R$ 90,00
7 ganham R$ 120,00
Para calcular a média salarial (por dia) de todo o grupo devemos usar a média aritmética ponderada:
P=
50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7
12 + 10 + 20 + 15 + 7
=
3890
64
=60,78
Médias geométrica e harmônica
Média geométrica: Consideremos uma coleção formada por n números racionais não negativos: x1, x2, x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses números, isto é:
G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]
Exemplo: A a média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:
G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013
Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.
A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.
G = R[a × b] = R[64] = 8
Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.
Interpretação gráfica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.
Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferencia começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.
Média harmônica: Seja uma coleção formada por n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A média harmônica H entre esses n números é a divisão de n pela soma dos inversos desses n números, isto é:
Aplicações práticas: Para as pessoas interessados em muitas aplicações do conceito de harmônia, média harmônica e harmônico global, visite o nosso link Harmonia.
Construída por Ulysses Sodré.
Atualizada em 24/mar/2005.
As principais operações são: adição, subtração, divisão e multiplicação. Utilizando o processo da multiplicação podemos encontrar outra operação: a potenciação, que para a realização de seus cálculos é necessário saber multiplicar. Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação. 2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais. Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma: 2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16 ↓ Fatores iguais. Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência. Representamos uma potência da seguinte forma: A base sempre será o valor do fator. O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete. A potência é o resultado do produto.
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Observe os exemplos abaixo:
(-3)2 = 9-32 = -9
O sinal de negativo ( – ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado.
Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo:(-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27
se tirarmos os parênteses
-33 = – 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27
Veja também:
Fatorial
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se tirarmos os parênteses
-33 = – 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27
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Definição: Potenciação ou Exponenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural). Exemplo:
32 (leia-se “três elevado ao quadrado”, ou “três elevado à segunda potência” ou ainda “três elevado à dois”).
No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo. Ficando: 3.3 = 9.
Então 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27
Algumas outras definições que podem ser utilizadas:
a1 = aa0 = 1, a ≠ 0
Propriedades
1 – Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes:
an . am = an+m
2 – Divisão de potências de bases iguais – mantenha a base e subtraia os expoentes:
(an) / (am) = an-m , “a” diferente de zero.
3 – Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes:
(am)n = am . n
Atenção
As potências abaixo NÃO são iguais:
(am)n
e
amn
na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar m à n, e depois elevar a ao resultado da operação anterior.
4 – (a . b)n = an . bn
5 – (a/b)n = an/bn , “b” diferente de zero.
32 (leia-se “três elevado ao quadrado”, ou “três elevado à segunda potência” ou ainda “três elevado à dois”).
No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo. Ficando: 3.3 = 9.
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5 – (a/b)n = an/bn , “b” diferente de zero.
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